8.3 Modelos autorregresivos En un modelo de regresión múltiple, se pronostica la variable de interés utilizando una combinación lineal de predictores. En un modelo de autorregresión, se pronostica la variable de interés utilizando una combinación lineal de valores pasados de la variable. El término regresión automática indica que es una regresión de la variable contra sí misma. Así, un modelo autorregresivo de orden p se puede escribir como donde c es una constante y et es ruido blanco. Esto es como una regresión múltiple pero con valores retardados de yt como predictores. Nos referimos a esto como un modelo AR (p). Los modelos autorregresivos son notablemente flexibles al manejar una amplia gama de diferentes patrones de series temporales. Las dos series de la figura 8.5 muestran series de un modelo AR (1) y un modelo AR (2). Al cambiar los parámetros phi1, dots, phip, se obtienen diferentes patrones de series temporales. La varianza del término de error y sólo cambiará la escala de la serie, no los patrones. Figura 8.5: Dos ejemplos de datos de modelos autorregresivos con diferentes parámetros. Izquierda: AR (1) con yt 18 -0,8y et. Derecha: AR (2) con yt 8 1,3y -0,7y et. En ambos casos, et es un ruido blanco normalmente distribuido con media cero y una varianza. Para un modelo AR (1): Cuando phi10, yt es equivalente al ruido blanco. Cuando phi11 y c0, yt es equivalente a una caminata aleatoria. Cuando phi11 y cne0, yt es equivalente a una caminata aleatoria con deriva Cuando ph1lt0, yt tiende a oscilar entre valores positivos y negativos. Normalmente restringimos los modelos autorregresivos a los datos estacionarios, y luego se requieren algunas restricciones sobre los valores de los parámetros. Para un modelo AR (1): -1 lt phi1 lt 1. Para un modelo AR (2): -1 lt phi2 lt 1, phi1phi2 lt 1, phi2-phi1 lt 1. Cuando pge3 las restricciones son mucho más complicadas. R se ocupa de estas restricciones al estimar un modelo.2.1 Modelos de media móvil (modelos MA) Los modelos de series de tiempo conocidos como modelos ARIMA pueden incluir términos autorregresivos y / o términos de media móvil. En la semana 1, aprendimos un término autorregresivo en un modelo de series de tiempo para la variable x t es un valor retrasado de x t. Por ejemplo, un término autorregresivo de retardo 1 es x t-1 (multiplicado por un coeficiente). Esta lección define los términos del promedio móvil. Un término medio móvil en un modelo de serie temporal es un error pasado (multiplicado por un coeficiente). Dejamos (wt desbordamiento N (0, sigma2w)), lo que significa que los w t son idéntica, independientemente distribuidos, cada uno con una distribución normal que tiene la media 0 y la misma varianza. El modelo de media móvil de primer orden, denotado por MA (1) es (xt mu wt theta1w) El modelo de media móvil de segundo orden, denotado por MA (2) es (xt mu wt theta1w theta2w) , Denotado por MA (q) es (xt mu wt theta1w theta2w puntos thetaqw) Nota. Muchos libros de texto y programas de software definen el modelo con signos negativos antes de los términos. Esto no cambia las propiedades teóricas generales del modelo, aunque sí cambia los signos algebraicos de los valores estimados de los coeficientes y los términos (no cuadrados) en las fórmulas para las ACF y las varianzas. Usted necesita comprobar su software para verificar si los signos negativos o positivos se han utilizado con el fin de escribir correctamente el modelo estimado. R utiliza signos positivos en su modelo subyacente, como lo hacemos aquí. Propiedades teóricas de una serie temporal con un modelo MA (1) Tenga en cuenta que el único valor distinto de cero en el ACF teórico es para el retardo 1. Todas las demás autocorrelaciones son 0. Por lo tanto, una muestra de ACF con una autocorrelación significativa sólo con el retardo 1 es un indicador de un posible modelo MA (1). Para los estudiantes interesados, las pruebas de estas propiedades son un apéndice a este folleto. Ejemplo 1 Supongamos que un modelo MA (1) es x t 10 w t .7 w t-1. Donde (wt overset N (0,1)). Así, el coeficiente 1 0,7. El ACF teórico se da por un diagrama de esta ACF sigue. La gráfica que se muestra es la ACF teórica para una MA (1) con 1 0,7. En la práctica, una muestra no suele proporcionar un patrón tan claro. Utilizando R, simulamos n 100 valores de muestra utilizando el modelo x t 10 w t .7 w t-1 donde w t iid N (0,1). Para esta simulación, sigue un diagrama de series de tiempo de los datos de la muestra. No podemos decir mucho de esta trama. A continuación se muestra el ACF de muestra para los datos simulados. Observamos un pico en el retraso 1 seguido por valores generalmente no significativos para los retrasos de 1. Obsérvese que la muestra ACF no coincide con el patrón teórico del MA subyacente (1), que es que todas las autocorrelaciones para los retrasos de 1 serán 0.Una muestra diferente tendría una ACF de muestra ligeramente diferente mostrada abajo, pero probablemente tendría las mismas características amplias. Propiedades Terapéuticas de una Serie de Tiempo con un Modelo MA (2) Para el modelo MA (2), las propiedades teóricas son las siguientes: Obsérvese que los únicos valores distintos de cero en la ACF teórica son para los retornos 1 y 2. Las autocorrelaciones para retardos mayores son 0 . Por lo tanto, una muestra de ACF con autocorrelaciones significativas en los intervalos 1 y 2, pero autocorrelaciones no significativas para retardos mayores, indica un posible modelo MA (2). Iid N (0,1). Los coeficientes son 1 0,5 y 2 0,3. Dado que se trata de una MA (2), la ACF teórica tendrá valores distintos de cero sólo en los retornos 1 y 2. Los valores de las dos autocorrelaciones distintas de cero son: Un gráfico de la ACF teórica sigue. Como casi siempre es el caso, los datos de la muestra no se comportarán tan perfectamente como la teoría. Se simularon 150 valores de muestra para el modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Donde w t iid N (0,1). A continuación se muestra el gráfico de la serie de tiempo de los datos. Al igual que con el gráfico de la serie de tiempo para los datos de la muestra MA (1), no se puede decir mucho de ella. A continuación se muestra el ACF de muestra para los datos simulados. El patrón es típico para situaciones donde un modelo MA (2) puede ser útil. Hay dos picos estadísticamente significativos en los intervalos 1 y 2, seguidos de valores no significativos para otros desfases. Tenga en cuenta que debido al error de muestreo, la muestra ACF no coincide exactamente con el patrón teórico. ACF para modelos MA (q) Una propiedad de los modelos MA (q) en general es que hay autocorrelaciones no nulas para los primeros q retrasos y autocorrelaciones 0 para todos los retrasos gt q. No unicidad de la conexión entre los valores de 1 y (rho1) en MA (1) Modelo. En el modelo MA (1), para cualquier valor de 1. El 1/1 recíproco da el mismo valor para. Por ejemplo, use 0.5 para 1. Y luego utilice 1 / (0,5) 2 para 1. Youll get (rho1) 0.4 en ambos casos. Para satisfacer una restricción teórica llamada invertibilidad. Limitamos los modelos MA (1) a tener valores con valor absoluto menor que 1. En el ejemplo dado, 1 0,5 será un valor de parámetro permisible, mientras que 1 1 / 0,5 2 no. Invertibilidad de los modelos MA Se dice que un modelo MA es invertible si es algebraicamente equivalente a un modelo de orden infinito convergente. Al converger, queremos decir que los coeficientes de AR disminuyen a 0 a medida que retrocedemos en el tiempo. Invertibilidad es una restricción programada en el software de la serie de tiempo usado para estimar los coeficientes de modelos con términos de MA. No es algo que buscamos en el análisis de datos. En el apéndice se proporciona información adicional sobre la restricción de la invertibilidad para los modelos MA (1). Nota de Teoría Avanzada. Para un modelo MA (q) con un ACF especificado, sólo hay un modelo invertible. La condición necesaria para la invertibilidad es que los coeficientes tienen valores tales que la ecuación 1- 1 y-. - q y q 0 tiene soluciones para y que caen fuera del círculo unitario. Código R para los Ejemplos En el Ejemplo 1, se representó la ACF teórica del modelo x $ _ {t} $ w $ _ {t} $. 7w t - 1. Y luego se simularon 150 valores de este modelo y se representaron las series de tiempo de muestra y la muestra ACF para los datos simulados. Los comandos R usados para trazar el ACF teórico fueron: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 retardos de ACF para MA (1) con theta1 0.7 lags0: 10 crea una variable llamada lags que va de 0 a 10. plot Abline (h0) añade un eje horizontal al diagrama El primer comando determina el ACF y lo almacena en un objeto (a0) Llamado acfma1 (nuestra elección de nombre). El comando plot (el 3er comando) traza retrasos en comparación con los valores ACF para los retornos 1 a 10. El parámetro ylab etiqueta el eje y y el parámetro principal pone un título en la gráfica. Para ver los valores numéricos de la ACF simplemente utilice el comando acfma1. La simulación y las parcelas se realizaron con los siguientes comandos. Xcarzim. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 agrega 10 para hacer la media 10. La simulación predeterminada significa 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) (X, xlimc (1,10), mainACF para datos de muestra simulados) En el Ejemplo 2, se representó el ACF teórico del modelo xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2. Y luego se simularon 150 valores de este modelo y se representaron las series de tiempo de muestra y la muestra ACF para los datos simulados. Los comandos R utilizados fueron acfma2ARMAacf (mac (0.5.0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 trama (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (2) con theta1 0,5, (X, typeb, principal serie MA simulado) acf (x, xlimc (1,10), x2) (1) Para los estudiantes interesados, aquí hay pruebas de las propiedades teóricas del modelo MA (1). Cuando x 1, la expresión anterior 1 w 2. Para cualquier h 2, la expresión anterior 0 (x) La razón es que, por definición de independencia del peso. E (w k w j) 0 para cualquier k j. Además, debido a que w t tiene una media 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para una serie de tiempo, aplique este resultado para obtener la ACF dada anteriormente. Un modelo inversible MA es uno que puede ser escrito como un modelo de orden infinito AR que converge para que los coeficientes AR convergen a 0 a medida que avanzamos infinitamente en el tiempo. Bien demostrar invertibilidad para el modelo MA (1). A continuación, sustituimos la relación (2) por wt-1 en la ecuación (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z - theta2w) En el momento t-2. La ecuación (2) es entonces sustituimos la relación (4) por w t-2 en la ecuación (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Si continuáramos Sin embargo, si 1 1, los coeficientes que multiplican los retrasos de z aumentarán (infinitamente) en tamaño a medida que retrocedemos hacia atrás hora. Para evitar esto, necesitamos 1 lt1. Esta es la condición para un modelo de MA (1) invertible. Infinite Order MA model En la semana 3, veamos bien que un modelo AR (1) puede convertirse en un modelo de orden infinito MA: (xt - mu wt phi1w phi21w puntos phik1 w dots sum phij1w) Esta suma de términos de ruido blanco pasado es conocida Como la representación causal de un AR (1). En otras palabras, x t es un tipo especial de MA con un número infinito de términos remontándose en el tiempo. Esto se llama un orden infinito MA o MA (). Una orden finita MA es un orden infinito AR y cualquier orden finito AR es un orden infinito MA. Recordemos en la semana 1, observamos que un requisito para un AR estacionario (1) es que 1 lt1. Vamos a calcular el Var (x t) utilizando la representación causal. Este último paso utiliza un hecho básico sobre series geométricas que requiere (phi1lt1) de lo contrario la serie diverge. NavigationARMA Unplugged Esta es la primera entrada de nuestra serie de tutoriales Unplugged, en la que profundizamos en los detalles de cada uno de los modelos de series de tiempo con los que ya está familiarizado, destacando las suposiciones subyacentes y conduciendo a casa las intuiciones detrás de ellos. En este número, abordamos el modelo ARMA como una piedra angular en el modelado de series temporales. A diferencia de los problemas de análisis anteriores, comenzaremos aquí con la definición del proceso ARMA, declararemos las entradas, salidas, parámetros, restricciones de estabilidad, supuestos y, finalmente, dibujaremos algunas pautas para el proceso de modelado. Antecedentes Por definición, el promedio móvil auto-regresivo (ARMA) es un proceso estocástico estacionario compuesto de sumas de Excel autorregresivo y componentes de media móvil. Alternativamente, en una formulación simple: Hipótesis Veamos más de cerca la formulación. El proceso ARMA es simplemente una suma ponderada de las observaciones de salida y choques pasados, con pocas hipótesis clave: ¿Qué significan estas suposiciones? Un proceso estocástico es una contrapartida de un proceso determinista que describe la evolución de una variable aleatoria a lo largo del tiempo. En nuestro caso, la variable aleatoria es El proceso ARMA sólo captura la correlación serial (es decir, autocorrelación) entre las observaciones. En términos simples, el proceso ARMA resume los valores de observaciones pasadas, no sus valores cuadrados o sus logaritmos, etc. Dependencia de orden superior requiere un proceso diferente (por ejemplo, ARCH / GARCH, modelos no lineales, etc.). Existen numerosos ejemplos de un proceso estocástico en el que los valores pasados afectan a los actuales. Por ejemplo, en una oficina de ventas que recibe RFQs en forma continua, algunas se realizan como ventas ganadas, algunas como ventas perdidas, y algunas se derramaron en el próximo mes. Como resultado, en un mes dado, algunos de los casos de ventas ganadas se originan como RFQs o son ventas repetidas de los meses anteriores. ¿Cuáles son los choques, las innovaciones o los términos de error Esta es una pregunta difícil, y la respuesta no es menos confusa. Sin embargo, vamos a darle una oportunidad: En palabras simples, el término de error en un modelo dado es un cubo todo para todas las variaciones que el modelo no explica. Todavía perdemos Vamos a usar un ejemplo. Para un proceso de cotización de acciones, hay posiblemente cientos de factores que impulsan el nivel de precios hacia arriba / hacia abajo, incluyendo: Dividendos y anuncios divididos Informes de ganancias trimestrales Actividades de fusión y adquisición (MampA) Eventos legales, p. La amenaza de demandas colectivas. Otros Un modelo, por diseño, es una simplificación de una realidad compleja, de modo que lo que dejemos fuera del modelo se agrupa automáticamente en el término de error. El proceso ARMA supone que el efecto colectivo de todos esos factores actúa más o menos como el ruido gaussiano. ¿Por qué nos preocupamos por los shocks pasados? A diferencia de un modelo de regresión, la ocurrencia de un estímulo (por ejemplo, shock) puede tener un efecto en el nivel actual, y posiblemente en los niveles futuros. Por ejemplo, un evento corporativo (por ejemplo, la actividad de MampA) afecta el precio de las acciones de la empresa subalterna, pero el cambio puede tomar algún tiempo para tener su impacto completo, ya que los participantes del mercado absorben / analizan la información disponible y reaccionan en consecuencia. Esto plantea la pregunta: ¿no los valores anteriores de la salida ya tienen los shocks pasado información SÍ, la historia de los shocks ya está contabilizado en los niveles de salida pasados. Un modelo ARMA puede ser representado solamente como un modelo auto-regresivo puro (AR), pero el requisito de almacenamiento de tal sistema en infinito. Esta es la única razón para incluir el componente MA: ahorrar en almacenamiento y simplificar la formulación. Una vez más, el proceso ARMA debe ser estacionario para que exista la varianza marginal (incondicional). Nota: En mi discusión anterior, no estoy haciendo una distinción entre meramente la ausencia de una raíz unitaria en la ecuación característica y la estacionariedad del proceso. Están relacionados, pero la ausencia de una raíz unitaria no es una garantía de estacionariedad. Aún así, la raíz unitaria debe estar situada dentro del círculo unitario para ser precisa. Conclusión Vamos a recapitular lo que hemos hecho hasta ahora. Primero examinamos un proceso estacionario ARMA, junto con su formulación, entradas, suposiciones y requisitos de almacenamiento. A continuación, mostramos que un proceso ARMA incorpora sus valores de salida (autocorrelación) y los choques que experimentó anteriormente en la salida de corriente. Finalmente, se mostró que el proceso estacionario ARMA produce una serie de tiempo con una media y una varianza estable a largo plazo. En nuestro análisis de datos, antes de proponer un modelo ARMA, debemos verificar el supuesto de estacionariedad y los requisitos de memoria finita. En el caso de que la serie de datos presente una tendencia determinista, necesitamos eliminarla (destensarla) primero y luego usar los residuos para ARMA. En el caso de que el conjunto de datos exhiba una tendencia estocástica (por ejemplo, caminata aleatoria) o la estacionalidad, necesitamos entretener a ARIMA / SARIMA. Por último, el correlograma (es decir, ACF / PACF) se puede utilizar para medir el requisito de memoria del modelo que deberíamos esperar ACF o PACF para decaer rápidamente después de unos pocos retrasos. Si no, esto puede ser un signo de no estacionariedad o un patrón a largo plazo (por ejemplo, ARFIMA).
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